Печать
II. Условия разрешимости уравнения в целых числах.
Решаем уравнение используя новый метод решения уравнений Еремина (см. М. А. Еремин “Новый метод решения уравнений” Арзамас 2000 г.).
Итак, , где , , - целые числа,
Запишем решение уравнения :
Положим , тогда:
 
Если взять , то
 
, тогда получим:
Проведем проверку решения:
:
Таким образом .
Итак, формулы дают решение уравнения .
Для того чтобы уравнение имело решение в целых числах, необходимо чтобы , были целыми положительными числами при целых числах.
Пусть
 
, , где - целые положительные числа
 
Из получим:
 
, тогда .
 
Отсюда находим , из равенства находим .
 
Итак,: , являются критериями разрешимости
 
уравнения в целых числах.

*u-может иметь бесконечное множество целых решений.

 

  Если , являются целыми положительными числами

 

  (, -целые числа), то уравнение разрешимо в целых      числах.
 
Формулы решения уравнения можно записать в виде:
Если число нецелое, то решение уравнения неоднозначно.
Следствие 1:
Из следует, если , а , то уравнение имеет следующее решение:
Следствие 2:
Из следует, если , а , , то:
Следствие 3:
Из следует, числа обязательно имеют общий множитель.
Общий множитель может принимать следующие значения:
Покажем это.
Числа для уравнения равны:
 
а) Пусть , тогда . Пусть , тогда , .
 
Итак, если , , то общий множитель чисел равен
 
.
 
Если , , то , .
 
Итак, если , а , то числа имеют общий множитель
 
.
 
б) Пусть , тогда . Если , то , .
 
Таким образом, если , а , то общий множитель чисел равен
 
.
 
Пусть , , тогда , или .
 
В этом случае общий множитель чисел
 
равен .
 
 
в) Пусть
 
 
Если , то . Итак, если , а , то общий множитель чисел равен:
 
 
Если , то , в этом случае общий множитель чисел равен
 
.
 
Следствие 4:
Из следует, числа обязательно имеют общий делитель:
 
а) , где такое, чтобы было целым числом;
 
б) ;
в) - если число , где - целое число;
г) - если число , где - целое число.
Общий делитель чисел может быть любым натуральным числом больше единицы.
Общий делитель чисел может быть как простым, так и составным числом.
При , - простое число, минимально возможное.
Уравнение , если не позволяет в числах производить сокращение на их общий делитель. При сокращении нарушается суть уравнения.
Покажем это:
.
Пусть , где - целые положительные числа.
или:
. Если произвести деление чисел на их общий делитель , то получим:
 
или:
 
. Получим уравнение не равносильное уравнению . Сокращение чисел на их общий делитель возможно только для уравнения :
 
, или - суть уравнения не изменилась.