Гипотеза Била? Это уже не гипотеза, а теорема.

Гипотеза Била – гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal).

Формулировка гипотезы:

Если , где - натуральные и , то имеют общий простой делитель.

Для аналитического решения данного уравнения (или ) необходим новый математический аппарат. Этот новый математический аппарат разработан на основе прямого решения уравнения Ферма (см. М. А. Еремин «Новый метод решения уравнений». Арзамас 2000г.)

Уравнение имеет решение:

где - критерии разрешимости уравнения в целых числах.

u - может иметь бесконечное множество целых решений.

где t - целое число, t >0.

(см. М. А. Еремин «Что может новый метод решения уравнений Еремина (проблема разрешимости диофантовых уравнений с различными показателями степени)» Арзамас 2013 г.)

Из видно, независимо от при общий делитель чисел равен 2 - это минимально возможное простое число.

Показатели в могут иметь бесконечное количество положительных целых значений.

Новый математический аппарат позволяет легко решать уравнения вида

Покажем решение таких уравнений:

Найдем решение уравнения в целых числах.

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнения в целых числах;

при :

 

Находим . Пусть . Тогда

Находим .

Итак,

Запишем решение уравнения

                                                                           

где - целые числа ( > 0 ).

Показатели степеней в числах имеют бесконечное множество значений.

Решение уравнения в целых числах.

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнения в целых числах: где .

 

 

Пусть , где - целое число, .

Тогда

Итак,

Запишем решение уравнения :

, где

- целые числа, больше нуля.

Показатели степеней в числах имеют бесконечное множество значений.

Решение уравнения в целых числах.

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнения в целых числах при :

Пусть , тогда ,

. Пусть , тогда . Или .

Находим .

, где - целые числа.

Решение уравнения запишем в виде:

, где

- целые числа больше нуля.

Найти решение уравнения в целых числах.

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнения в целых числах:

при

 

 

Пусть , тогда ,

 

 

Пусть , тогда , или: .

Если , то ,

. Пусть , то: , или .

 

Если , то ; , , ; , то .

Находим :

,

где ().

Запишем решение уравнения :

 

,

где - целые числа.

- целые положительные числа.

Показатели степеней имеют бесконечное множество значений.

Из формул чисел видно, что данные числа огромные.

С ростом показателей степеней в уравнении становится сложнее рассчитать критерии разрешимости уравнения в целых числах, так как приходится производить больше вычислительной работы.

 

Следующие две теоремы позволяют, не решая уравнения , судить о разрешимости уравнения в целых числах.

Теорема 1. Уравнение , (где - натуральные числа, ) имеет бесконечное количество решений в целых числах если НОД .

Примеры:  НОД ,

 НОД .

Теорема 2. Уравнение  (где - натуральные числа), имеет бесконечное количество решений в целых числах,                    

                    если

                    или 

Числа  имеют общий делитель.

Пример 1:   имеет решение в целых числах, так как  и

                                                                                                                                                 

                                                                             

где , - минимально возможное.

Пример 2. Показать, при каких  уравнение ,  имеет решение в целых числах.

Решение:

                                    

                                  

                                  

                                 

                                 

                                 

Итак, при   уравнение имеет решение в целых числах. Числа   для таких уравнений огромные.

                                                                                                                                                         М. А. Еремин.