II. Условия разрешимости уравнения
в целых числах.
![](/images/formula/glv2/Image1.gif)
Решаем уравнение
используя новый метод решения уравнений Еремина (см. М. А. Еремин “Новый метод решения уравнений” Арзамас 2000 г.).
![](/images/formula/glv2/Image2.gif)
Итак,
, где
,
,
- целые числа, ![](/images/formula/glv2/Image155.gif)
![](/images/formula/glv2/Image3.gif)
![](/images/formula/glv2/Image4.gif)
![](/images/formula/glv2/Image5.gif)
![](/images/formula/glv2/Image6.gif)
![](/images/formula/glv2/Image155.gif)
Запишем решение уравнения
:
![](/images/formula/glv2/Image8.gif)
![](/images/formula/glv2/Image156.gif)
Положим
, тогда:
![](/images/formula/glv2/Image11.gif)
![](/images/formula/glv2/Image12.gif)
Если взять
, то
![](/images/formula/glv2/Image13.gif)
![](/images/formula/glv2/Image14.gif)
![](/images/formula/glv2/Image157.gif)
Проведем проверку решения:
![](/images/formula/glv2/Image19.gif)
![](/images/formula/glv2/Image158.gif)
Таким образом
.
![](/images/formula/glv2/Image21.gif)
Итак, формулы
дают решение уравнения
.
![](/images/formula/glv2/Image22.gif)
![](/images/formula/glv2/Image23.gif)
Для того чтобы уравнение
имело решение в целых числах, необходимо чтобы
,
были целыми положительными числами при
целых числах.
![](/images/formula/glv2/Image24.gif)
![](/images/formula/glv2/Image25.gif)
![](/images/formula/glv2/Image26.gif)
![](/images/formula/glv2/Image27.gif)
Пусть
![](/images/formula/glv2/Image28.gif)
![](/images/formula/glv2/Image29.gif)
![](/images/formula/glv2/Image30.gif)
![](/images/formula/glv2/Image31.gif)
Из
получим:
![](/images/formula/glv2/Image32.gif)
![](/images/formula/glv2/Image33.gif)
![](/images/formula/glv2/Image34.gif)
Отсюда находим
, из равенства
находим
.
![](/images/formula/glv2/Image35.gif)
![](/images/formula/glv2/Image36.gif)
![](/images/formula/glv2/Image37.gif)
Итак,:
,
являются критериями разрешимости
![](/images/formula/glv2/Image38.gif)
![](/images/formula/glv2/Image39.gif)
![](/images/formula/glv2/Image40.gif)
уравнения
в целых числах.
![](/images/formula/glv2/Image41.gif)
*u-может иметь бесконечное множество целых решений.
Если
( |
![]() |
Формулы
решения уравнения
можно записать в виде:
![](/images/formula/glv2/Image48.gif)
![](/images/formula/glv2/Image49.gif)
![](/images/formula/glv2/Image159.gif)
Если число
нецелое, то решение уравнения
неоднозначно.
![](/images/formula/glv2/Image54.gif)
![](/images/formula/glv2/Image55.gif)
Следствие 1:
Из
следует, если
, а
, то уравнение
имеет следующее решение:
![](/images/formula/glv2/Image56.gif)
![](/images/formula/glv2/Image57.gif)
![](/images/formula/glv2/Image58.gif)
![](/images/formula/glv2/Image59.gif)
![](/images/formula/glv2/Image160.gif)
Следствие 2:
Из
следует, если
, а
,
, то:
![](/images/formula/glv2/Image63.gif)
![](/images/formula/glv2/Image64.gif)
![](/images/formula/glv2/Image65.gif)
![](/images/formula/glv2/Image66.gif)
![](/images/formula/glv2/Image161.gif)
Следствие 3:
Из
следует, числа
обязательно имеют общий множитель.
![](/images/formula/glv2/Image70.gif)
![](/images/formula/glv2/Image71.gif)
Общий множитель может принимать следующие значения:
![](/images/formula/glv2/Image162.gif)
Покажем это.
Числа
для уравнения
равны:
![](/images/formula/glv2/Image75.gif)
![](/images/formula/glv2/Image76.gif)
![](/images/formula/glv2/Image163.gif)
а) Пусть
, тогда
. Пусть
, тогда
,
.
![](/images/formula/glv2/Image80.gif)
![](/images/formula/glv2/Image81.gif)
![](/images/formula/glv2/Image82.gif)
![](/images/formula/glv2/Image83.gif)
![](/images/formula/glv2/Image84.gif)
Итак, если
,
, то общий множитель чисел
равен
![](/images/formula/glv2/Image85.gif)
![](/images/formula/glv2/Image86.gif)
![](/images/formula/glv2/Image87.gif)
![](/images/formula/glv2/Image88.gif)
Если
,
, то
,
.
![](/images/formula/glv2/Image89.gif)
![](/images/formula/glv2/Image90.gif)
![](/images/formula/glv2/Image91.gif)
![](/images/formula/glv2/Image92.gif)
Итак, если
, а
, то числа
имеют общий множитель
![](/images/formula/glv2/Image93.gif)
![](/images/formula/glv2/Image94.gif)
![](/images/formula/glv2/Image95.gif)
![](/images/formula/glv2/Image96.gif)
б) Пусть
, тогда
. Если
, то
,
.
![](/images/formula/glv2/Image97.gif)
![](/images/formula/glv2/Image98.gif)
![](/images/formula/glv2/Image99.gif)
![](/images/formula/glv2/Image100.gif)
![](/images/formula/glv2/Image101.gif)
Таким образом, если
, а
, то общий множитель чисел
равен
![](/images/formula/glv2/Image102.gif)
![](/images/formula/glv2/Image103.gif)
![](/images/formula/glv2/Image104.gif)
![](/images/formula/glv2/Image105.gif)
Пусть
,
, тогда
, или
.
![](/images/formula/glv2/Image106.gif)
![](/images/formula/glv2/Image107.gif)
![](/images/formula/glv2/Image108.gif)
![](/images/formula/glv2/Image109.gif)
В этом случае общий множитель чисел
равен
.
![](/images/formula/glv2/Image110.gif)
в) Пусть
![](/images/formula/glv2/Image113.gif)
![](/images/formula/glv2/Image111.gif)
![](/images/formula/glv2/Image112.gif)
![](/images/formula/glv2/Image113.gif)
Если
, то
. Итак, если
, а
, то общий множитель чисел
равен:
![](/images/formula/glv2/Image114.gif)
![](/images/formula/glv2/Image115.gif)
![](/images/formula/glv2/Image116.gif)
![](/images/formula/glv2/Image117.gif)
![](/images/formula/glv2/Image118.gif)
![](/images/formula/glv2/Image119.gif)
Если
, то
, в этом случае общий множитель чисел
равен
![](/images/formula/glv2/Image120.gif)
![](/images/formula/glv2/Image121.gif)
![](/images/formula/glv2/Image122.gif)
![](/images/formula/glv2/Image123.gif)
Следствие 4:
Из
следует, числа
обязательно имеют общий делитель:
![](/images/formula/glv2/Image124.gif)
![](/images/formula/glv2/Image125.gif)
а)
, где
такое, чтобы
было целым числом;
![](/images/formula/glv2/Image126.gif)
![](/images/formula/glv2/Image127.gif)
![](/images/formula/glv2/Image128.gif)
б)
;
![](/images/formula/glv2/Image129.gif)
в)
- если число
, где
- целое число;
![](/images/formula/glv2/Image130.gif)
![](/images/formula/glv2/Image131.gif)
![](/images/formula/glv2/Image132.gif)
г)
- если число
, где
- целое число.
![](/images/formula/glv2/Image133.gif)
![](/images/formula/glv2/Image134.gif)
![](/images/formula/glv2/Image135.gif)
Общий делитель чисел
может быть любым натуральным числом больше единицы.
![](/images/formula/glv2/Image136.gif)
Общий делитель чисел
может быть как простым, так и составным числом.
![](/images/formula/glv2/Image136.gif)
При
,
- простое число, минимально возможное.
![](/images/formula/glv2/Image137.gif)
![](/images/formula/glv2/Image138.gif)
Уравнение
, если
не позволяет в числах
производить сокращение на их общий делитель. При сокращении нарушается суть уравнения.
![](/images/formula/glv2/Image139.gif)
![](/images/formula/glv2/Image140.gif)
![](/images/formula/glv2/Image141.gif)
Покажем это:
![](/images/formula/glv2/Image142.gif)
Пусть
, где
- целые положительные числа.
![](/images/formula/glv2/Image143.gif)
![](/images/formula/glv2/Image144.gif)
![](/images/formula/glv2/Image145.gif)
![](/images/formula/glv2/Image146.gif)
![](/images/formula/glv2/Image147.gif)
![](/images/formula/glv2/Image148.gif)
![](/images/formula/glv2/Image149.gif)
![](/images/formula/glv2/Image150.gif)
![](/images/formula/glv2/Image151.gif)
![](/images/formula/glv2/Image152.gif)
![](/images/formula/glv2/Image153.gif)
![](/images/formula/glv2/Image154.gif)