III. Примеры решения уравнений вида .

Пример 1. Найти решение уравнения  в целых числах.

Решение:

Определяем, разрешимо данное уравнение в целых числах или нет. Вычисляем критерии разрешимости уравнения:

  при 

 

.

 

Из ,  видно при  числа  являются

целыми положительными, поэтому данное уравнение имеет решение в целых числах.

По общим формулам запишем решение:

Пример 2.

Найти решение уравнения  в целых числах.

Решение:

Определяем, разрешимо ли уравнение в целых числах.

По формулам   при    находим:

 

 

Пусть =6834, тогда .

Итак, числа  целые положительные, то данное уравнение разрешимо в целых числах.

По общим формулам  находим решение уравнения :

Пример 3.

Найти решение уравнения .

Решение:

Определяем, разрешимо ли данное уравнение в целых числах.

По формулам  при  находим:

 

.

 

Если  то .

Так как ,  - целые положительные числа при  то данное уравнение разрешимо в целых числах.

Запишем по общим формулам   решение данного уравнения:

Пример 4.

Найти решение в целых числах уравнения .

Решение:

Определяем, имеет ли данное уравнение решение в целых числах. Вычисляем критерии разрешимости уравнения:

 при 

 

 

Если , то 

Числа - целые положительные, то данное уравнение разрешимо в целых числах.

По общим формулам   запишем решение уравнения :

 

Пример 5.

Найти решение уравнения  в целых числах.

Решение:

Так как  то применяем следствие №2:

Данное уравнение разрешимо в целых числах. Вот решение данного уравнения:

Если вычислить критерии разрешимости уравнения, то получим

 

 ,

 

Если , то .

Итак,   Таким образом также получим решение  .

Пример 6.

Найти решение уравнения   в целых числах.

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнения ,  

 

при 

 

При , получим , 

Так как  ,  - целые положительные числа, то данное уравнение имеет решение в целых числах.

По общим формулам  запишем решение уравнения:

Пример 7.  

Найти решение уравнения  в целых числах. Показать как действует для данного примера метод бесконечного спуска.

Решение:

Вычисляем для данного уравнения критерии разрешимости:   

при   

 

Если , то получим:   

Так как  - целые положительные числа, то данное уравнение имеет решение в целых числах.

Запишем по общим формулам решение:

Из видно, если , где , то - целые числа. Таким образом, мы получим бесконечную последовательность чисел , то есть степени в числах   будут меняться :

Сведем данные по  в таблицу:

	6	21	36	51	66	81	96	111	126	141	156	171
	5	17	29	41	53	65	77	89	101	113	125	137
	8	28	48	68	88	108	128	148	168	188	208	228

 

	186	201	216	231	246	261	276	291	306	321	336
	149	161	173	185	197	209	221	233	245	257	269
	248	268	288	308	328	348	368	388	408	428	448…

Таким образом, мы показали так называемый метод бесконечного спуска на примере уравнения 

Пример 8.

Найти решение в целых числах уравнения 

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости данного уравнения в целых числах:   при .

 

  

 

Пусть , то 

Так как числа  - целые положительные, то данное уравнение разрешимо в целых числах. По общим формулам  запишем решение:

Пример 9.

Определить, имеет ли уравнение  решение в целых числах. Если да, то найти эти решения.

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнения при :

 

 

 

Если , то  

Так как числа - целые положительные, то данное уравнение имеет решение в целых числах.

По общим формулам запишем это решение:

Пример 10.

Найти решение в целых числах уравнения .

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнений в целых числах при :

 

.

 

Если  то: , 

 

.

 

Так как числа  - целые положительные, то данное уравнение имеет решение в целых числах.

Запишем это решение:

Пример 11.

Решить уравнение  в целых числах.

Решение:

Определяем критерии разрешимости уравнения в целых числах: ,    при .

 

 

Если , то  

 

 

Так как числа - целые положительные, то данное уравнение разрешимо в целых числах:

Пример 12.

Решить уравнение   в целых числах .

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости данного уравнения при :

 

 

Так как при - четном, выражение - нечетное число, то  - нецелое число. В этом случае решение уравнения неоднозначно. Оно может иметь или не иметь решения  в целых числах. Проверим это. Перепишем уравнение таким образом: . В следующих главах мы рассмотрим решения уравнений  в целых числах. А здесь просто запишем решение уравнение  :

Или:

Пример 13.

Определить, имеет ли решение уравнение   в целых числах.

Решение:

Определяем критерии разрешимости данного уравнения в целых числах при :

 

 

Пусть , тогда 

Так как числа  - целые положительные, то данное уравнение имеет решение в целых числах. Запишем решение:

    

Из  видно, числа   могут быть целыми:

1) если ;

2) если  - рациональные, например:

 

 где  - целые числа.

 

 Из  видно, числа   могут быть нецелыми, если  целые числа больше единицы.

Пример 14.

Определить, имеет ли решение в целых числах уравнение .

Решение:

Вычисляем критерии разрешимости уравнения в целых числах ,

 при :

 

, 

Если , то 

Числа  - целые, то данное уравнение имеет решение в рациональных числах, так как . Запишем решение уравнения:

Пример 15.

Определить, имеет ли решение в целых числах уравнение .

Решение:

Определяем критерии разрешимости уравнения в целых числах:  

 

 

Если , то 

Запишем решение уравнения:

    

Из  видно, числа  могут быть нецелыми, так как 

Если взять , то получим:

  

Решение уравнения запишем в виде:

Числа  также нецелые.